Article du mois
789
Vidange d’une bouteille en plastique
par Juan MAGNIEZ
Lycée Leconte de Lisle - 97400 Saint-Denis (La Réunion)
D
ans le cadre du concours scientifique international Just Science-it, des étudiants du cycle
de préparation intégrée Chimie Pékin ont mené à distance un projet expérimental visant
à mettre en évidence la loi de Torricelli, issue du théorème de Bernoulli. L’expérience
repose sur un dispositif extrêmement simple : une bouteille en plastique remplie d’eau, percée à
différentes hauteurs. En mesurant la vitesse d’éjection du jet d’eau pour différentes hauteurs de
liquide, les étudiants ont pu vérifier la validité du modèle théorique. Réalisable à domicile avec
un matériel courant, cette activité expérimentale est parfaitement adaptée à un TP maison ou à
un projet en distanciel. Elle illustre de manière concrète les principes de la mécanique des fluides,
tout en développant chez les étudiants une démarche scientifique complète, alliant observation,
modélisation, acquisition de données et analyse critique des résultats.
INTRODUCTION
Les programmes de deuxième année de CPGE (Classes préparatoires aux grandes
écoles) contiennent une part importante de mécanique des fluides, mais celle-ci ne
bénéficie que rarement d’expériences simples à mettre en œuvre avec les étudiants.
Pourtant, la physique reste avant tout une science expérimentale : il est donc essentiel
de revenir aussi souvent que possible à l’observation, pour confronter nos modélisations
à la réalité.
Dans cette optique, de nombreux articles proposent des dispositifs expérimentaux
permettant d’illustrer les conséquences du théorème de Bernoulli [1-3]. D’autres visent
à en montrer les limites, notamment en caractérisant les régimes d’écoulement ou en
étudiant les pertes de charge liées à la viscosité des fluides [1, 4]. Par ailleurs, le théorème lui-même peut être établi rigoureusement à partir d’une approche énergétique,
comme le montre l’analyse proposée dans l’article de Luc Dettwiller [5].
Toutefois, les expériences décrites dans ces travaux nécessitent souvent un matériel spécifique difficile à posséder à domicile. Les activités pédagogiques exploitables à
la maison, tout en restant rigoureuses sur le plan quantitatif, demeurent rares.
Dans cette perspective, nous avons choisi une application simple et directe du
théorème de Bernoulli : la vidange d’une bouteille en plastique [6-7]. Cette expérience
illustre parfaitement la formule de Torricelli, qui en découle. Elle consiste à mesurer
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la vitesse d’écoulement de l’eau à la sortie d’un orifice percé sur la paroi latérale de la
bouteille. Cette vitesse peut être déterminée simplement à partir de la portée du jet,
et la trajectoire du jet est enregistrée à l’aide d’une photographie, exploitée ensuite sur
ordinateur.
Ce projet offre ainsi une opportunité d’illustrer des notions fondamentales de physique à travers une approche accessible, reproductible et engageante pour les étudiants.
1. DESCRIPTION DU PROJET
1.1. Contexte
La crise sanitaire de 2020 a profondément modifié les pratiques pédagogiques dans
l’enseignement supérieur, en particulier dans les disciplines scientifiques où l’expérimentation occupe une place centrale. À l’Institut franco-chinois de Chimie Pékin, en
collaboration avec l’École nationale supérieure de chimie de Paris, un dispositif innovant de travaux pratiques à distance a été conçu pour les étudiants de troisième année.
Dans ce cadre, plusieurs projets expérimentaux, inspirés du format TIPE (Travaux
d’initiative personnelle encadrés), ont été réalisés à distance dans le contexte du
concours scientifique international Just Science-it, organisé par l’Institut avec le soutien
de partenaires industriels. Bien que les conditions sanitaires aient été particulièrement
contraignantes en Chine en 2022, les étudiants ont mené à bien une série d’expériences conçues pour illustrer, avec rigueur, des lois fondamentales de la physique à
l’aide de matériel du quotidien.
Le projet présenté ici s’inscrit dans cette dynamique. Il a été mené sur une durée
de plus de cinq mois, avec un accompagnement régulier de l’équipe pédagogique au
moyen de visioconférences. Il visait à mettre en évidence la formule de Torricelli à partir de la vidange d’une bouteille en plastique percée à différentes hauteurs. Les mesures
expérimentales ont été analysées et restituées dans une vidéo de dix minutes synthétisant la démarche, les résultats et l’interprétation physique. Cette restitution devait à
la fois respecter les standards de rigueur scientifique (modèle, données, graphiques) et
proposer un format attractif, clair et accessible.
1.2. Intérêt pédagogique
L’expérience menée repose sur une situation concrète et familière : l’écoulement de l’eau par un trou percé dans une bouteille. Ce phénomène, bien que simple
d’apparence, permet une mise en application directe du théorème de Bernoulli dans un
contexte d’écoulement incompressible, sans frottement, et conduit naturellement à la
formule de Torricelli. Celle-ci établit une relation entre la hauteur de fluide au-dessus
de l’orifice et la vitesse du jet émis.
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Le Bup n° 1087
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Sur le plan pédagogique, cette activité présente plusieurs avantages. Elle permet
d’ancrer une loi théorique dans une situation du quotidien, tout en exigeant une
modélisation rigoureuse, une acquisition de données fiable et une exploitation quantitative des résultats. L’expérience mobilise ainsi des compétences variées : application du
théorème de Bernoulli, analyse de la trajectoire d’un jet, estimation de vitesses à partir
de prises de vue, ajustement de courbes, et réflexion sur l’évaluation des incertitudes
expérimentales.
De plus, l’analyse des données peut être approfondie par des outils numériques,
notamment l’ajustement de modèles théoriques ou la propagation des incertitudes par
simulation de type Monte-Carlo, offrant une réelle transversalité avec les compétences
informatiques et statistiques.
Ce projet illustre donc parfaitement une approche pédagogique active, expérimentale et accessible, adaptée à un enseignement à distance. Il combine observation
expérimentale, rigueur scientifique et autonomie de l’étudiant, tout en valorisant une
démarche complète de la physique : de l’intuition empirique à la confrontation au
modèle théorique.
2. PROTOCOLE ET MESURES EXPÉRIMENTALES
2.1. Bouteille et matériel
Comme nous l’avons vu dans l’introduction, cette expérience ne nécessite quasiment aucun instrument de mesure du laboratoire et un matériel facilement trouvable
dans un foyer. Nous avons donc besoin d’une bouteille en plastique (comme une bouteille d’eau) percée proprement de trous
régulièrement espacés (cf. figure 1). Afin
de caractériser cette bouteille et la hauteur
des trous, nous réalisons une modélisation
simple de sa géométrie (cf. figure 2, page
ci-après) et nous mesurons les caractéristiques comme résumées sur le tableau 1
(cf. page ci-après).
En ce qui concerne les incertitudes,
la hauteur d’eau H est mesurée à l’aide
d’une règle graduée au millimètre (précision annoncée : 1 mm). Toutefois, cette
graduation ne constitue pas la principale
source d’erreur : l’épaisseur du trait de
marqueur, la fluctuation du niveau d’eau
pendant l’expérience, ainsi que l’épaisseur
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Figure 1 - Bouteille d’eau utilisée pour cette expérience (les trous sont réalisés à l’aide d’une perceuse et d’une mèche de 5 mm).
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Figure 2 - Bouteille en plastique utilisée et sa modélisation.
Mesures (cm)
Grandeurs
Hauteur d’eau
H = 23, 2 ! 0, 2
Hauteur du trou 5
h 5 = 8, 5 ! 0, 2
Diamètre de la bouteille
D = 8, 5 ! 0, 2
Hauteur du trou 6
h 6 = 10, 3 ! 0, 2
Diamètre du trou
d = 0, 50 ! 0, 06
Hauteur du trou 7
h 7 = 12, 0 ! 0, 2
Hauteur du trou 1
h 1 = 2, 0 ! 0, 2
Hauteur du trou 8
h 8 = 13, 9 ! 0, 2
Hauteur du trou 2
Grandeurs
Mesures (cm)
h 2 = 3, 0 ! 0, 2
Hauteur du trou 9
h 9 = 16, 7 ! 0, 2
Hauteur du trou 3
h 3 = 4, 8 ! 0, 2
Hauteur du trou 10
h 10 = 19, 3 ! 0, 2
Hauteur du trou 4
h 4 = 6, 6 ! 0, 2
Hauteur du trou 11
h 11 = 21, 2 ! 0, 2
Tableau 1 - Caractéristiques de la bouteille utilisée
(les incertitudes sont des incertitudes-type évaluées avec la méthode B).
de plastique à la base de la bouteille, conduisent à adopter une approche prudente.
Nous retenons donc une précision élargie d’environ 3 mm. L’incertitude-type associée,
obtenue par la méthode B [8-9], vaut alors :
3 mm
u (H) =
et donc u (H) . 2 mm
3
après arrondi au supérieur et réduction à un chiffre significatif.
Le diamètre de la bouteille est mesuré à l’aide d’une simple règle. Cette méthode
étant peu précise, on applique le même raisonnement, en supposant une incertitude
uniforme sur un intervalle de 3 mm, conduisant à une incertitude-type identique.
Concernant les orifices percés dans la paroi, on peut dans un premier temps se
référer au diamètre nominal de la mèche (5,0 mm, mesuré avec un pied à coulisse). Un
perçage manuel peut toutefois entraîner un léger élargissement du trou. Nous estimons
alors une imprécision d’environ 1 mm sur le diamètre, d’où une incertitude-type :
1 mm
; d’où : u (d ) . 0, 6 mm.
u (d ) =
3
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Le Bup n° 1087
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Enfin, la hauteur relative de chaque orifice par rapport à la base est affectée par
deux contributions indépendantes :
? l’épaisseur du plastique au fond de la bouteille, estimée à 1 mm ;
? le rayon du trou (environ 2,5 mm), qui détermine la zone effective où la sortie d’eau
se produit.
L’incertitude-type sur la hauteur d’un orifice s’écrit donc :
1 2 2, 5 2
u (h ) = c
m ; soit : u (h) . 2 mm.
m +c
3
3
L’ensemble de ces valeurs reste cohérent avec l’ordre de grandeur des dimensions
mises en jeu et permet une exploitation correcte des résultats expérimentaux.
Les différents trous de la bouteille sont bouchés à l’aide de ruban adhésif. On peut
ainsi choisir quel trou déboucher pour chaque partie du protocole expérimental. Enfin,
le niveau H d’eau choisi est repéré à l’aide d’un trait au marqueur de couleur.
2.2. Appareil de mesure et traitement
Comme rappelé dans l’introduction, le but de cette expérience est de montrer
qu’il est possible de réaliser des travaux pratiques (TP) ou des projets expérimentaux à
la maison ou en distanciel. Le matériel est donc très simple : il suffit d’un smartphone
pour réaliser une photo et par exemple du logiciel gratuit ImageJ d’analyse d’images
(cf. figure 3).
Figure 3 - Exemple de photo prise avec le trou 4 débouché.
(Logiciel ImageJ pour le traitement des données expérimentales).
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2.3.
Description du protocole
On remplit la bouteille d’eau jusqu’au niveau du trait repérant la hauteur H. Puis,
on débouche un trou. Afin de maintenir un niveau d’eau H toujours constant, on alimente régulièrement la bouteille. L’eau sort alors par le trou en suivant une trajectoire
parabolique. Pour finir, on réalise deux mesures :
? une photographie de la trajectoire du jet ;
? la mesure du point d’impact du jet d’eau sur la table d’où l’on déduit la portée , i .
Pour traiter la photo, on suit le protocole suivant :
? importer la photo dans ImageJ (4) ;
? réaliser la mise à l’échelle des mesures, en repérant par un trait la hauteur H sur
l’image puis en rentrant la valeur de cette hauteur dans analyze/set scale ;
? tracer à main levée la trajectoire à l’aide de l’outil freehand line ;
? affiner le tracé à l’aide de l’outil Edit/Selection/Interpolate(5) ;
? entrer dans l’onglet Pluging/New/Macro et entrer le code suivant :
? une fenêtre s’ouvre avec les résultats ;
? sélectionner Save as pour sauvegarder ces données dans un tableur au format .txt.
On peut ensuite importer ces données dans un tableur. Sous Python les données
importées permettent d’extraire les coordonnées et de tracer la trajectoire (cf. figure 4,
page ci-contre).
(4) Attention, parfois des modifications de format sont nécessaires, mais de nombreux sites
Internet gratuits permettent une modification de ce format.
(5) Un point tous les dix pixels est suffisant dans notre cas.
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Figure 4 - Exemple de trajectoire tracée à l’aide d’ImageJ
et le graphique associé sous Python.
2.4. Résultats expérimentaux
L’ensemble des mesures de portée , i est consigné dans le tableau 2. Ces mesures
de portée sont entachées d’une imprécision liée à la zone d’impact qui s’étale fortement
sur la règle ainsi qu’à une instabilité du jet entraînant des variations temporelles de la
zone d’impact. Afin de tenir compte de cette variabilité, on estime l’incertitude-type à
1, 5 cm
l’aide d’une demi-étendue de 1,5 cm, ce qui conduit à u (,) =
soit u (,) . 0, 9 cm .
3
Numéro
du trou i
Hauteur h i
(cm)
Portée , i
(cm)
Numéro
du trou i
Hauteur h i
(cm)
Portée , i
(cm)
1
2,0 ± 0,2
13,0 ± 0,9
7
12,0 ± 0,2
21,0 ± 0,9
2
3,0 ± 0,2
15,0 ± 0,9
8
13,9 ± 0,2
21,0 ± 0,9
3
4,8 ± 0,2
19,0 ± 0,9
9
16,7 ± 0,2
17,5 ± 0,9
4
6,6 ± 0,2
20,0 ± 0,9
10
19,3 ± 0,2
14,5 ± 0,9
5
8,5 ± 0,2
20,5 ± 0,9
11
21,2 ± 0,2
11,0 ± 0,9
6
10,3 ± 0,2
21,0 ± 0,9
Tableau 2 - Mesures des hauteurs des trous h accompagnées
des portées , associées.
Les photos sont traitées individuellement et les données de la trajectoire importées
sous Python permettent de tracer les différentes trajectoires pour chacun des trous (cf.
figure 5, page ci-après).
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Figure 5 - Trajectoire du jet d’eau pour les différents trous de la bouteille.
3. MODÉLISATION ET ÉTUDE DE LA TRAJECTOIRE
3.1. Formule de Torricelli
Ce problème correspond à une résolution très classique du programme de physique-chimie [10]. Afin de le résoudre, on suppose l’écoulement stationnaire, incompressible et parfait, puis on applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de
courant reliant un point A situé à la surface libre et un point B correspondant au trou
i, comme représenté sur la figure 6 (cf. page ci-contre) :
1
1
PA + tgH + 2 tv 2A = PB + tghi + 2 tv 2B
avec t la masse volumique de l’eau, g l’accélération de pesanteur, P la pression au point
considéré et v la vitesse de l’écoulement. Les points A et B étant au contact de l’atmosphère, la pression en ces points est identique et égale à la pression atmosphérique. Cela
permet de simplifier l’équation en éliminant les termes de pression.
L’écoulement étant supposé incompressible, le débit volumique se conserve le
long d’un tube d’écoulement. Seule l’ouverture en B étant ouverte durant l’expérience, le débit volumique en A est égal au débit volumique en B :
2
2
vA
rD
rd
d 2
v
=
v
&
=a k .
A
B
4
4
D
vB
vA
–3
Application numérique :
vB = 3, 5 $ 10 % 1.
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Figure 6 - Schéma de la modélisation représentant une ligne de courant reliant
le point A (à surface libre) et le point B (au niveau du trou numéro i).
Le terme vA étant négligeable face vB il peut être négligé dans l’équation de
Bernoulli. On obtient alors directement l’expression usuelle appelée formule de
Torricelli :
vi = 2 g ( H – h i ) .
3.2. Modélisation de la trajectoire en sortie
Afin de modéliser la trajectoire du jet d’eau, on modélise chaque particule de
fluide par un système mécanique suivant une chute libre avec une vitesse initiale horizontale de norme vi . En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le
référentiel terrestre supposé galiléen, on obtient la trajectoire suivante pour le trou i :
x –x 2
1
zi = – 2 g c i v 0i m + hi .
i
On en déduit l’expression de la portée correspondant à la position atteinte , i = xi – x0i
par le système lorsque zi = 0 :
2h i
,i =
g vi .
En utilisant l’expression de la vitesse obtenue précédemment, on obtient :
, i = 4hi (H – hi) .
4. COMPARAISON DES RÉSULTATS AVEC LA MODÉLISATION
4.1. Portée du jet
Commençons par comparer la portée du jet expérimental et le résultat théorique.
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Les mesures effectuées et les valeurs prévues par notre modèle sont résumées dans le
tableau 3. Les valeurs obtenues pour notre modèle sont présentées avec une incertitude
type calculée à l’aide d’une simulation de Monte-Carlo(6).
Numéro
du trou i
Hauteur h i
(cm)
Portée expérimentale , i
(cm)
Portée théorique , i
(cm)
Écart
normalisé
1
2,0 ± 0,2
13,0 ± 0,9
13,0 ± 0,6
0,5
2
3,0 ± 0,2
15,0 ± 0,9
15,6 ± 0,5
0,6
3
4,8 ± 0,2
19,0 ± 0,9
18,8 ± 0,3
0,2
4
6,6 ± 0,2
20,0 ± 0,9
20,9 ± 0,3
0,9
5
8,5 ± 0,2
20,5 ± 0,9
22,6 ± 0,2
2,3
6
10,3 ± 0,2
21,0 ± 0,9
23,0 ± 0,2
2,2
7
12,0 ± 0,2
21,0 ± 0,9
23,2 ± 0,2
2,3
8
13,9 ± 0,2
21,0 ± 0,9
22,7 ± 0,3
1,8
9
16,7 ± 0,2
17,5 ± 0,9
20,8 ± 0,4
3,4
10
19,3 ± 0,2
14,5 ± 0,9
17,4 ± 0,6
2,7
11
21,2 ± 0,2
11,0 ± 0,9
13,0 ± 0,9
1,6
Tableau 3 - Comparaison des portées en fonction du niveau du trou
(les incertitudes sont ici les incertitudes-types).
On observe que les mesures expérimentales et les valeurs théoriques sont du
même ordre de grandeur mais les écarts-types normalisés sont relativement élevés.
Différents éléments permettant de critiquer notre modèle et permettent d’expliquer
cet écart. Par exemple, la valeur expérimentale est systématiquement inférieure à celle
prévue par la théorie. Ceci peut s’expliquer par le fait d’avoir négligé la présence de
pertes de charge. Nous reviendrons sur ces aspects dans la partie dédiée à la critique
du modèle.
4.2. Évolution de la portée en fonction de la hauteur du trou
On étudie ensuite l’évolution de la portée , en fonction de la hauteur du trou h.
D’après notre calcul théorique, on peut montrer que :
, = 4h (H – h) .
On trace alors cette évolution sur la figure 7 (cf. page ci-contre). La tendance des
mesures expérimentales suit globalement la courbe théorique, mais avec un décalage
systématique vers le bas : la portée mesurée reste légèrement inférieure à celle prédite
par le modèle. Cette observation s’explique par l’hypothèse consistant à négliger les
(6) Le code Python utilisé est disponible en complément de l’article sur le site de l’UdPPC.
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frottements visqueux présents dans l’écoulement. En effet, ces frottements dissipent
une partie de l’énergie cinétique du fluide avant sa sortie par l’orifice, ce qui réduit
mécaniquement la portée du jet d’eau.
Figure 7 - Évolution de la portée en fonction de la hauteur de trou
(barres d’erreur correspondant à des incertitudes élargies à 95 %).
4.3. Trajectoire du jet
D’après notre modélisation, la trajectoire du jet doit être parabolique. Ainsi, on
modélise la trajectoire de chacun des jets d’eau obtenus par un polynôme d’ordre 2
sous Python et on exploite les coefficients de régression linéaire obtenus :
zi = ai x 2i + bi xi + ci .
Ces ajustements numériques sont réalisés à l’aide de la fonction numpy.polynomial.polynomial.polyfit sous Python (cf. figure 8, page ci-après). L’ajustement
numérique est relancé plusieurs fois afin d’obtenir une incertitude sur les coefficients
par la méthode de Monte-Carlo. On obtient alors les résultats suivants résumés sur le
tableau 4 (cf. page ci-après) ainsi que le tracé de ces ajustements numériques sur la
figure 9 (cf. pages ci-après).
On remarque que l’ajustement numérique est parfaitement adapté avec des résidus
normalisés inférieurs à un, comme on peut le constater sur la figure 8 (cf. page ciaprès). Il reste à exploiter les coefficients de régression obtenus. Pour cela, revenons à
l’équation de la trajectoire :
x –x 2
x2
1
1
1
zi = – 2 g c i v 0i m + hi = – 4 (H – h ) x i2 + 2 (H – h ) x0i xi + hi – 4 (H 0–i h ) .
i
i
i
i
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Union des professeurs de physique et de chimie
Figure 8 - Ajustement numérique sur le trou numéro 4 avec résidus normalisés.
(barres d’erreurs correspondant à l’incertitude type).
ai
(cm – 1)
Numéro
du trou i
bi
ci
(cm)
1
– 0,04 ± 0,02
– 0,1 ± 0,2
2,0 ± 0,3
2
– 0,014 ± 0,004
– 0,01 ± 0,06
2,6 ± 0,2
3
– 0,014 ± 0,002
– 0,03 ± 0,04
4,5 ± 0,2
4
– 0,017 ± 0,003
– 0,01 ± 0,05
6,6 ± 0,2
5
– 0,020 ± 0,002
– 0,03 ± 0,04
8,4 ± 0,2
6
– 0,022 ± 0,002
– 0,06 ± 0,04
9,9 ± 0,2
7
– 0,027 ± 0,002
– 0,09 ± 0,04
11,9 ± 0,2
8
– 0,032 ± 0,003
– 0,06 ± 0,05
13,6 ± 0,2
9
– 0,046 ± 0,004
– 0,36 ± 0,07
16,5 ± 0,2
10
– 0,08 ± 0,01
– 0,7 ± 0,2
19,2 ± 0,3
11
– 0,18 ± 0,02
– 0,5 ± 0,2
21,3 ± 0,4
Tableau 4 - Coefficients de l’ajustement numérique
pour les différentes trajectoires.
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Figure 9 - Ajustement numérique sur les différentes trajectoires issues
des trous de la bouteille.
avec vi = 2g (H – hi) . Ainsi, par identification, on obtient :
1
ai = – 4 ( H – h )
i
x2
1
; bi = 2 (H – h ) x0i ; ci = hi – 4 (H 0–i h ) .
i
i
On peut alors comparer les résultats de l’ajustement numérique à ceux attendus
selon notre modélisation. Ces résultats sont résumés dans le tableau 5 (cf. page ciaprès).
On remarque alors un excellent accord entre les données issues de l’extraction
des images (avec un ajustement numérique) et les coefficients prévus par notre modélisation. En effet, les écarts normalisés sont très majoritairement inférieurs à deux sauf
pour le coefficient b associé au neuvième trou. Pour comprendre cet écart important,
il nous faut remettre en question certaines hypothèses du modèle.
4.4. Critiques du modèle
La première limite, sans doute la plus évidente, concerne l’hypothèse d’un écoulement parfait négligeant les pertes de charge. En effet, le théorème de Bernoulli suppose
l’absence d’effets visqueux, hypothèse acceptable lorsque le nombre de Reynolds Re est
grand (Re & 1) [10]. Dans le corps de la bouteille, ce nombre s’écrit :
tUD
Re = h ,
avec t la masse volumique du fluide (ici l’eau), h la viscosité du fluide, D une distance
caractéristique de l’écoulement (ici le diamètre de la bouteille) et U une vitesse typique
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Vidange d’une bouteille en plastique
– 0,06 ± 0,05
– 0,36 ± 0,07
– 0,014 ± 0,002
– 0,017 ± 0,003
– 0,020 ± 0,002
– 0,022 ± 0,002
– 0,027 ± 0,002
– 0,032 ± 0,003
– 0,046 ± 0,004
– 0,08 ± 0,01
– 0,18 ± 0,02
3
4
5
6
7
8
9
10
11
21,3 ± 0,4
19,2 ± 0,3
16,5 ± 0,2
13,6 ± 0,2
11,9 ± 0,2
9,9 ± 0,2
8,4 ± 0,2
6,6 ± 0,2
4,5 ± 0,2
2,6 ± 0,2
2,0 ± 0,3
c i numérique
(cm)
– 0,13 ± 0,02
– 0,064 ± 0,005
– 0,039 ± 0,002
– 0,0269 ± 0,0009
– 0,0223 ± 0,0006
– 0,0194 ± 0,0005
– 0,0170 ± 0,0004
– 0,0151 ± 0,0003
– 0,0136 ± 0,0003
– 0,0124 ± 0,0002
– 0,0118 ± 0,0002
a i modèle
(cm– 1)
0,0 ± 0,2
0,00 ± 0,07
0,00 ± 0,04
0,00 ± 0,03
0,00 ± 0,03
0,00 ± 0,02
0,00 ± 0,02
0,00 ± 0,02
0,00 ± 0,02
0,00 ± 0,02
0,00 ± 0,02
b i modèle
0,2
0,3
4,5
1,2
1,8
1,3
0,7
0,2
0,7
0,2
0,5
0,2
0,3
0,7
1,1
0,4
1,4
0,4
0
1,1
1,4
0
avec u (x 1) l’incertitude-type sur la première mesure de X
1,8
1,4
1,6
1,6
2,3
1,3
1,5
0,6
0,2
0,4
1,4
Écart normalisé* Écart normalisé Écart normalisé
sur b i
sur c i
sur a i
u (x 1) 2 + u (x 2) 2
x1 – x2
21,2 ± 0,2
19,3 ± 0,2
16,7 ± 0,2
13,9 ± 0,2
12,0 ± 0,2
10,3 ± 0,2
8,5 ± 0,2
6,6 ± 0,2
4,8 ± 0,2
3,0 ± 0,2
2,0 ± 0,2
c i modèle
(cm)
Tableau 5 - Comparaison des coefficients des trajectoires.
* On rappelle l’expression de l’écart normalisé E pour une grandeur X mesurée par deux méthodes différentes : E =
et x 1 le résultat du mesurage de la grandeur X par la première méthode.
– 0,5 ± 0,2
– 0,7 ± 0,2
– 0,09 ± 0,04
– 0,06 ± 0,04
– 0,03 ± 0,04
– 0,01 ± 0,05
– 0,03 ± 0,04
– 0,01 ± 0,06
– 0,014 ± 0,004
2
– 0,1 ± 0,2
– 0,04 ± 0,02
a i numérique
b i numérique
(cm– 1)
1
Numéro
du trou i
802
Union des professeurs de physique et de chimie
Le Bup n° 1087
803
de l’écoulement (environ 1 m $ s –1 pour la vitesse en sortie au centre de la bouteille et
de l’ordre de 1 mm $ s –1 pour la vitesse de l’eau au niveau de la surface libre). On obtient
alors une estimation du nombre de Reynolds comprise entre Re + 10 2 et 10 5 . Dans
ces conditions, l’hypothèse d’un écoulement parfait dans la bouteille reste raisonnable.
Toutefois, cette estimation change lorsqu’on considère les orifices percés dans la
paroi (réalisés avec une mèche de 5 mm, puis ébavurés au papier de verre à grain fin).
En prenant cette fois la dimension d des orifices comme longueur caractéristique, on
obtient une plage beaucoup plus basse, de l’ordre de Re + 1 – 10 3 . Dans cette configuration, le nombre de Reynolds n’est plus toujours très supérieur à l’unité, et les
phénomènes visqueux ne peuvent plus être négligés systématiquement.
Les frottements visqueux au voisinage des orifices dissipent alors une fraction de
l’énergie cinétique du fluide, réduisant la vitesse d’éjection et, par conséquent, la portée
du jet d’eau. Cet effet explique pourquoi les portées mesurées sont systématiquement
légèrement inférieures aux valeurs prédites par le modèle, comme l’illustre la figure 7
(cf. page précédente).
Afin de quantifier cette influence, des essais préliminaires ont été réalisés avec
différentes tailles de mèches. Il apparaît que la portée diminue lorsque le diamètre du
trou est inférieur à 5 mm (mèches de 3 et 4 mm), mais que l’effet devient négligeable
au-delà (mèche de 6 mm donnant des résultats similaires à celle de 5 mm).
Un second phénomène intervient pour les faibles vitesses : la tension superficielle.
Pour les hauteurs d’eau les plus faibles (correspondant notamment au onzième trou), la
vitesse du jet est réduite, et la tension superficielle tend à faire couler l’eau le long de
la paroi plutôt qu’à former un jet libre. Comme on peut l’observer sur la figure 10 (cf.
page ci-après), ce phénomène provoque un retour du jet vers la paroi et réduit ainsi la
portée mesurée.
Enfin, une troisième hypothèse importante du modèle est l’orientation du jet en
sortie d’orifice. Par simplification, nous avons supposé que le jet sortait parfaitement
horizontal, ce qui n’est pas toujours vérifié expérimentalement. L’observation de la
figure 10 (neuvième trou) montre clairement un jet incliné vers le bas, ce qui réduit
mécaniquement la portée par rapport à la prédiction théorique. Une piste d’amélioration consisterait à guider le jet en sortie à l’aide d’un petit tube (par exemple une paille)
fixé hermétiquement à l’orifice, afin de mieux contrôler la direction. Toutefois, cette
modification alourdirait le protocole – qui se veut simple et réalisable à domicile – et
risquerait d’accentuer les pertes de charge.
CONCLUSION
L’expérience proposée, consistant à mesurer la portée et la trajectoire d’un jet
Vol. 120 - Octobre 2026
Juan MAGNIEZ
Article expérimental
Union des professeurs de physique et de chimie
804
A)
Union des professeurs de physique et de chimie
B
Figure 10 - Mise en avant des limites du modèle. A Une photo de l’expérience avec le trou 9 où le
jet n’est pas totalement horizontal en sortie de l’orifice et B une mise en avant de l’effet de tension
superficielle pouvant apparaître avec le trou 11 et une faible vitesse du jet en sortie).
d’eau s’échappant d’une bouteille percée latéralement, a permis de vérifier expérimentalement la tendance attendue de la portée en fonction de la hauteur du trou. Les
valeurs obtenues sont cohérentes avec l’ordre de grandeur prédit par la théorie, et l’analyse numérique de la trajectoire du jet a permis d’extraire des coefficients polynomiaux
en bon accord avec la modélisation retenue.
Quelques écarts systématiques avec les prévisions théoriques ont toutefois été
observés, en particulier des portées légèrement plus faibles. Ceux-ci s’expliquent par
la négligence des pertes de charge et par l’hypothèse simplificatrice d’un jet parfaitement horizontal. Bien que le dispositif puisse être affiné pour réduire ces écarts, cela
irait à l’encontre de l’objectif initial : proposer une expérience simple, peu coûteuse et
réalisable à domicile, tout en conservant une exploitation quantitative rigoureuse pour
illustrer la formule de Torricelli.
En définitive, cette activité illustre parfaitement l’intérêt pédagogique d’expériences accessibles mobilisant les principes de la mécanique des fluides. Elle offre un
support concret pour faire dialoguer observation, modélisation et calcul, et montre que
la rigueur scientifique peut être maintenue même dans un cadre expérimental allégé.
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier l’IFC Chimie Pékin à BUCT (Beijing University of Chemical
Technology) pour avoir permis la mise en œuvre de ce projet, notamment à travers la
création du concours scientifique international Just Science-it. Je remercie également
les partenaires industriels de ce concours, Air Liquide (China) R&D Co. et Arkema
Vidange d’une bouteille en plastique
Le Bup n° 1087
805
CRDC, pour leur soutien. Enfin, mes remerciements vont à mes collègues pour leurs
relectures attentives et leurs remarques constructives qui ont contribué à l’amélioration
de cet article.
BIBLIOGRAPHIE ET SITOGRAPHIE
[1] D. Obert, « Construction d’un canal à surface libre », Bull. Un. Phys., vol. 86,
n° 748, p. 1387-1396, novembre 1992.
[2] X. Chavanne, « L’écoulement dans une trompe à eau vérifie-t-il l’équation de Bernoulli ? », Bull. Un. Phys., vol. 96, n° 841 (2), p. 59-65, février 2002.
[3] R. Fustier, « L’effet Venturi », Bull. Un. Prof. Phys. Chim., vol. 104, n° 925 (1),
p. 683-690, juin 2010.
[4] A. Bujard, « Régimes d’écoulement des fluides incompressibles », Bull. Un. Phys.,
vol. 89, n° 775 (1), p. 1099-1106, juin 1995.
[5] L. Dettwiller, « Bilans énergétiques en mécanique des fluides parfaits (III) », Bull.
Un. Phys., vol. 89, n° 775 (2), p. 103-115, juin 1995.
[6] Université de Lille, « Le tonneau percé » :
https://pod.univ-lille.fr/video/1264-le-tonneau-perce
page consultée le 17 août 2026.
[7] Fondation Unit, « Hydraulique pour le génie des procédés, applications de l’équation de Bernoulli » :
https://sites.cnam.fr/industries-de-procedes/ressources-pedagogiques-ouvertes/hydraulique/
co/3grain_applicationsBernoulli.html
page consultée le 17 août 2026.
[8] F.-X. Bally et J.-M. Berroir, « Incertitudes expérimentales », Bull. Un. Phys.,
vol. 104, n° 928, p. 995-1019, novembre 2010.
[9] D. Boilley et Y. Lallouet, « Introduction aux incertitudes de mesure », Bull. Un.
Phys., vol. 107, n° 955-956, p. 681-695, juin-juillet-août-septembre 2013.
[10] M.-N. Sanz, B. Salamito et D. Moulin, Physique PC/PC* Tout-en-un, Paris :
Dunod, 6e édition, 2022.
Compléments de l’article
Cet article comporte des compléments nommés :
? Analyse_Bup.py ;
? Results1.txt ;
? Results2.txt ;
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Article expérimental
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Union des professeurs de physique et de chimie
? Results3.txt ;
? Results4.txt ;
? Results5.txt ;
? Results6.txt ;
? Results7.txt ;
? Results8.txt ;
? Results9.txt ;
? Results10.txt ;
? Results11.txt ;
l’ensemble est disponible sur le site de l’UdPPC sous la forme d’un fichier zippé 10870789.
Juan MAGNIEZ
Professeur agrégé
Lycée Leconte de Lisle
Saint-Denis (La Réunion)
Vidange d’une bouteille en plastique
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